Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit, Berechenbarkeit

In der Mathematik ist es immer als eine besonders interessante und wichtige Aufgabe angesehen worden, Algorithmen zur Lösung von Pro blemen zu entwickeln. Dabei ist ein Algorithmus im Normalfall nur auf einen eng umschriebenen Problemkreis anwendbar, wie etwa der Euklidi sche Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen oder das bekannte Verfahren, mit dessen Hilfe die Qua dratwurzeln aus natürlichen Zahlen in Dezimaldarstellung gewonnen werden können. So wichtig derartige spezielle Algorithmen auch sein mögen - so wäre es dennoch wünschenswert, über Algorithmen mit großer Tragweite zu verfügen. Um solche Algorithmen, die sich mög lichst vielfältig anwenden lassen, hat man sich jahrhundertelang ohne rechten Erfolg bemüht. Erst in der zweiten Hälfte des letzten Jahr hunderts wurde ein bemerkenswerter Fortschritt erzielt, als es gelang, mit der Prädikatenlogik einen wichtigen Teil der logischen Schluß prozesse in die Gestalt eines Kalküls zu bringen. (Dabei spielte die Boolesche Algebra eine wesentliche Pionierrolle. ) Man hätte nun viel leicht vermuten können, daß alle mathematischen Probleme algorith misch lösbar seien. Doch mahnten wohlbekannte noch ungelöste Pro bleme (etwa das Wortproblem der Gruppentheorie, oder das zehnte Hilbertsche Problem, das die Frage nach der Lösbarkeit von diophanti schen Gleichungen betrifft) zur Vorsicht. Immerhin war nun der Anstoß gegeben, die Frage nach dem Wesen des Algorithmus aufzuwerfen. Diese Frage hatte schon Leibniz gestellt, aber nicht zu lösen vermocht.